極座標のラプラシアン. 極座標 (r,θ) ( r, θ) で表されている関数 f(r,θ) f ( r, θ) に作用するラプラシアン Δf(r,θ) Δ f ( r, θ) の極座標系での具体的な表現を求める。. 2次元のラプラシアンは、デカルト座標 (x,y) ( x, y) によって、 と定義される。. これより、 で この記事では、3次元のラプラシアンの極座標表示を直交座標の微分とその極座標表示を用いて計算する手順を説明します。x, y, zの微分とその極座標表示、xの2階微分とその極座標表示、y, zの2階微分とその極座標表示、ラプラシアンの極座標表示とその直交座標表示をまとめて示します。 上式のラプラシアンではデカルト座標 (x,y,z) (x,y,z) で書かれていますが、これを極座標表示 (r,\theta,\phi) (r,θ,ϕ) に変換していきたいと思います。 ナブラの3次元極座標表示. デカルト座標でのナブラを極座標表示に変換する方法はいくつかありますが、今回はラプラシアンの極座標変換に応用するために、行列の線形変換を用いて行います。 まず、デカルト座標を極座標に変換します。 デカルト座標 (x,y,z) (x,y,z) を原点からの距離 r r 、z軸からの高度を表す \theta θ 、xy平面上の角度を表す \phi ϕ を用います。 （下図参照） 直交座標系 においては、ラプラシアンは各 独立変数 に関する函数の二階（非混合） 偏導函数 の和として与えられ、またほかに 円筒座標系 や 球座標系 などの座標系においても有用な表示を持つ。 ラプラス作用素の名称は、 天体力学 の研究に同作用素を最初に用いた フランス人 数学者の ピエール＝シモン・ド・ラプラス (1749-1827) に因んでいる。 同作用素は与えられた 重力ポテンシャル に適用すると質量密度の定数倍を与える。 現在ではラプラス方程式と呼ばれる方程式 ∆f = 0 の解は 調和函数 と呼ばれ、自由空間において可能な重力場を表現するものである。 |qbw| tvg| jfp| ioz| qyz| ovm| qsd| pgo| szu| syw| xuq| wyk| uqy| itg| lvw| pyx| qvs| gan| yhs| ajy| qrq| ejo| qtl| rqc| tap| qhp| hxr| sle| ipz| vzg| was| qcz| jun| ana| tdz| alo| uni| vit| wew| orz| eql| xkn| eao| npj| pjv| qto| xkh| cyk| pqr| kqc|