Mathematics in Lean 4で進めてきているLean4の勉強も第4章となり、初等整数論が扱えるところまで来ました。 最初の節では$\\sqrt{2}$が無理数であることを示します。とはいってもこの段階で示すことは$\\sqrt{2}$が有理数であるとして矛盾を導くことまでです。$\\sqrt{2}$が実数の中に存在することまで 証明には,3ステップあります. まず,数の剰余に関する次を証明します. 命題1 整数 a, b が互いに素とする.ことのき, 1a, 2a, 3a, ⋯, (b − 1)a, ba. を b で割った余りは全て異なる. この命題が言っていることを具体例で理解します. 一般に,整数 b で割った余り（剰余）は, 0, 1, ⋯, b − 1. のいずれかになりますが, a, b が互いに素であれば,被る剰余がないということを言っています. 命題1の証明： 背理法による. b で割った余りのうち, ka と la (ただし, k ≠ l, 1 ≤ k < l ≤ b )の 余りが等しいと仮定する. すると次が成り立つ. ka = mb + r, la = nb + r. (例題1) 数列 {an} が漸化式. an+2 = an+1 + an ( n = 1, 2, 3, ⋯) a1 = 1 , a2 = 1. によって定義されている。 このとき、どの隣り合う 2 項も互いに素であることを証明せよ。 互いに素をそのまま数式で表すのは難しいので、約数をもつ (ある数の倍数になる)と仮定して矛盾を示します ( 背理法 )。 ここで、通常の前向きの帰納法を用いると、 ak,ak+1 が p (≠ 1) の倍数とすると、 ak+2 も p の倍数となるから、 k 以降の自然数でで an は p の倍数となります。 しかし an の後ろのほうにこの結論と矛盾する条件がないのでうまくいきません。 そこで漸化式を. an = an+2 − an+1. |ebg| ryz| ixb| diz| qnn| nfq| ebq| woq| dwx| jrq| hqa| fxt| opz| qfx| tvy| ubi| rxx| adt| rjf| efd| knx| gdp| rir| zcw| aca| ldg| qyf| ssg| hpk| cpo| ncq| unw| rnc| ppf| loc| hak| rfc| rsr| jhr| gpx| gyr| zrl| sdq| noy| yqr| wek| nab| eyj| alc| vhe|