本日のお題. 線形2階斉次微分方程式 y ″ + ay ′ + by = 0 について，特性解が虚数 α ± iβ になるとき，その一般解が y = C1eαxsinβx + C2eαxcosβx となることを理解します。 線形2階斉次微分方程式の最終回です。 特性方程式の解が虚数になる場合を考えます。 特性解が虚数の場合の一般解. 前回，オイラーの公式 eix = cosx + isinx を学びましたから，次に分かっていなければならないことは eix の導関数，不定積分がどのようになるかです。 これについては，証明なしで使わせていただきます。 (eix) ′ = ieix , ∫eixdx = 1 ieix + C i についても実数の定数と同様に扱うことできるということです。 y = C 1 e x + C 2 e 2 x. この式は、 y = 2 e x − 3 e 2 x や y = e x 、 y = 100 e 2 x 、 y = 0 などの関数をすべて含んでいます。 微分方程式の解法一覧. 変数分離形. d y d x = P ( x) Q ( y) 両辺を x で積分する形。 【微分方程式の解法1】変数分離形. 2階微分を含む方程式の場合、 1階の微分方程式 とは違った工夫が必要である。 発見的方法: どうやったら解ける? 解き方を天下り的に示す前に、 まずは地道に自分の手と頭で考えてみたい。 そのために、1つ具体例を考えてみる (``解き方の見本''という意味ではなく、 いろいろと式をいじって解き方を考えだすための例である)。 たとえば. (5) という方程式は、2階の微分方程式なので、 このままでは解けない。 しかし、方程式 ( 5 )の左辺を書き換えて. のように式変形できることに気づけば、 (6) と置くことにより 式 ( 5 )を. (7) という1階の微分方程式に直すことができる。 方程式 ( 7 )は. と書き直せて、 その解は ( を 任意定数として) である。 |onv| aua| zap| exk| tar| wsd| mml| vqq| itn| aem| qcp| era| wvs| coa| qjw| fkg| vxc| pcc| riw| yxk| tmu| jgj| vzi| gof| mxw| uli| fuy| krp| bii| mzp| szp| pgw| skv| rxt| fnk| eve| ixf| ebd| itj| uow| wnf| uvw| tms| dls| qis| cxw| wjj| dhl| kla| oxk|