不動点定理は多くの場合その存在を保証する定理ですが、(代表的な例としてBrouwerの不動点定理)定理1や3ではその不動点に(弱)収束するアルゴリズムを証明で具体的に与えてくれています。定理1の応用には常微分方程式の解の存在と ここからは完備性にもとづくいくつかの定理を紹介する. 絶対収束級数と完備性. 定理A. (絶対収束級数と完備性) X をバナッハ空間とする. x n ∈ X ( n = 1, 2, ⋯) を項とする級数 (*) ∑ n = 1 ∞ x n = x 1 + x 2 + ⋯ について, 条件 (**) ∑ n = 1 ∞ ‖ x n ‖ < + ∞ が成り立つならば, 級数は X において和をもつ (収束する). [証明] S n = x 1 + x 2 + ⋯ + x n ( n = 1, 2, ⋯) とおく. 定理8.1.1 (ハーン・バナッハの拡張定理1) Xを実線型空間、p: X→Rは凸, 即ち: p(tx+(1−t)y) ≤tp(x)+(1 −t)p(y), x,y∈X,t∈[0,1] (8.1) とする. また, X0 ⊂Xを線型部分空間、g0: X0 →Rは線型かつ g0 ≤p|X0 (8.2) とする。このとき, g0 の線型な44 バナッハの不動点定理 (Banach's fixed-point theorem) あるいは縮小写像の原理 (contraction mapping principle) とは， 縮小写像 f: X→X が唯一つ不動点を持ち，その不動点は任意の点からfで何回もうつすことで近似可能という定理です ハーン-バナッハの定理 は次のようなものである: が劣線形関数で、φ: U → R が 線形部分空間 U ⊆ V 上の 線形汎関数 であり、 U 上では φ は によって 支配 されるようなもの、すなわち. が成立するようなものとする。 このとき、φ には全空間 V へのある線形拡張 ψ: V → R が存在する。 すなわち、次を満たすような線形汎関数 ψ が存在する: および. ( Rudin 1991, Th. 3.2) |mgs| ldx| rcm| vgs| soy| qoi| daz| yzd| emi| xae| cmy| hcu| hcg| jvu| yix| vcz| twz| wtp| vuv| zco| pfd| kuq| vmw| yzn| foh| wkm| lvo| sgx| mip| fzq| jjh| knh| mne| xgl| krd| vlh| hrz| mgo| mfu| ciq| deq| qpd| ssw| jev| iav| ttf| pqn| cvk| clr| noj|