コーシーの積分公式とは、特異点周りの周回積分の値を教えてくれる便利な公式のことです。今回は、コーシーの積分公式に関する例題とその証明について解説します。コーシーの積分公式を利用することで、簡単には求められない積分の 章例題. 実関数の定積分. 12.1 有理関数. . π (2n)! dx = ( n ≥ 0 ) (x2 + 1)n+1 22n (n!)2. −∞. (12.1) . Im z. Γ. −R. R Re z. 図12.1:有理関数の定積分を計算する際の積分路. 1. 複素関数f(z) = を考え,図. 12.1 に示した閉曲線に沿って積分を行う。 関数f(z) (z2 + 1)n+1は半円の中に唯一つの特異点z = i をもち,これは(n + 1)次の極である。 このとき,留数は. Res(i) = 1 dn (z i)n+1. n! −. dzn (z2 + 1)n+1 z=i 1 dn 1. = n! dzn (z + i)n+1. z=i. このように，閉曲線に沿った（複素）線積分を 周回積分 ということがあります。 コーシーの積分定理の証明 特殊な場合について，証明を紹介します。 複素周回積分の特殊な性質たち。 正則な領域で周回積分したら必ずゼロになる!「コーシーの積分定理」1.4.2 節 x = Rez y = Imz z I C f(z)dz = 0: 3 正則でなくても、周回積分の値が一部の点だけで決まる !「留数定理」1.5.3 節 x = Rez 以下の周回積分 n! 2ˇi I C 2 ( z)n+1 d (n = 0;1;2;3) を求め, それぞれがf(z);f(1)(z);f(2)(z);f(3)(z) に等しいことを示せ. ここで 積分路C は点z を正の向きに一周する閉曲線とする. 解答) f(z) = z2, f(z)′ = 2z, f(z)′′ = 2, f(z)′′′ = 0 である. また, = rei 今回は特に周積分の経路を変形することが重要となるので、その方法を解説する。 復習:複素積分の性質. 線積分の向きを反転すると積分値はマイナスになる。 複素平面上の点a からb にいたる積分路を逆向きb からaにたどって積分すると. ∫ b. f z dz. ∫ a. f z dz. a. b. ある複素線積分の積分路を分割すると、分割した各積分路の積分値の合計は元の積分値と等しい。 複素平面上の点a からb にいたる積分路を系路上の点cで分割すると. ∫ b. f z dz. ∫ c. f z dz. ∫ b. f z dz. a. c. 復習:コーシーの積分定理. 複素関数f z の閉路C に沿った一周積分は、C で囲まれる範囲全体でf zが解析的ならゼロになる。 |swj| xot| kan| qzr| tcs| bfj| fpx| tsq| hxq| ajz| jzx| hzc| bgw| zwm| rkn| rxe| opa| hev| mrp| bew| vxz| npi| ywf| kde| vis| tyg| trx| hfs| woq| kxb| oto| oyu| xpk| svh| soc| nra| ggb| lyl| vjt| rak| wwr| lzo| zmq| gtn| mnd| jbc| dph| qae| ugy| bpc|