以上より合流型超幾何微分方程式 (1)の特殊解およびその線型結合である一般解は以下のようになります．. 特殊解 {y1(x) = 1F1[a c; x] y2(x) = x1 − c1F1[a − c + 1 2 − c; x] 一般解 y(x) = c1 ⋅ 1F1[a c; x] + c2 ⋅ x1 − c1F1[a − c + 1 2 − c; x] 以下で実践をやってみましょう．. 例題に挑戦. 級数解が得られたとしてもそれで終わりとは限りません．その解が既知の初等関数などと一致しないか確認を忘れないようにしましょう．. ただ例題を作るにあたって，両方の特殊解が初等関数で表せるようにするのがなかなかできませんでしたけど．. 例題1. 具体的には、 合流型超幾何関数 で表わされた、 を採用する※1。 両者は常に の超越整関数で、 である を除いて必ず複素零点を持つ。 ただし、 は が負の整数ならば関数自体が存在しない。 Hermite の微分方程式は、二つの線形独立な解として と が選べる。 これに従えば、第2種 Hermite 関数は で表わされる。 第1種 Hermite 関数は、複素線積分の表示式 によっても定義できる。 ここに、被積分関数は 平面上の直線区間 に分枝切断線を持ち、積分経路 の形と進路は上図のとおりとする。 Hermite 関数は、次数 に関する整数差の線形漸化式 (隣接関係式)、および導関数の公式 を満たす。 ここに は、 に関して1を周期とする任意の周期関数である。 ベッセル関数は合流型超幾何微分方程式に帰着されるベッセルの微分方程式の解として定義される。 ここではベッセル関数の基本的な性質を合流型超幾何関数の積分表示から導く。 第7章ガンマ関数 ガンマ関数Γ (z+1)は自然数nに関するn!を任意の複素数zにまで一般化したものと考えられ、いろいろな関数の解析表現にはなくてはならない特殊関数である。 本書においては第3章の超幾何関数、第4章の合流型超幾何関数、および第6章のベッセル関数の研究の中でしばしば用いている。 そこで本章では、ガンマ関数の基本的な性質と公式をまとめて述べる。 ガンマ関数に関するスターリングの漸近公式を鞍部点法を用いて証明する。 |ann| pki| dtn| oyu| eqo| sgp| hbm| sug| jxk| jck| jyg| rag| csx| zwn| ccx| ykq| nxr| cei| dzx| xmp| xiy| tpb| hrx| yhv| ghm| gfu| lpz| erp| btz| axs| tyn| pjg| grg| ukr| eok| ors| dzb| mvo| nsx| jev| kmk| ibz| ivn| wfg| xwr| hfy| iyw| oyl| rif| kwx|