Stirlingの公式とは n! ˘ nne n p 2ˇn (n! 1) という階乗の近似公式のことである. ここでan˘ bn (n! 1)はlimn!1(an=bn) = 1 を 意味する. より精密には n! = nne n p 2ˇn (1+ 1 12n +O (1 n2)) (n! 1) が成立している1. このノートではまず最初にガンマ スターリングの公式としては n! ≒ 2 π n ( n e) n または log e n! ≐ n ( log e n − 1) + 1 2 log e ( 2 π n) で与えられる式が有名です。 この2式は同じもので、対数を取っているかいないかという見た目上の違いしかありません。 さらに精度を上げると log e n! ≈ n log e n − n + 1 2 log e ( 2 π n) + 1 12 n − 1 360 n 3 + 1 1260 n 5 − 1 1680 n 7 + ⋯ というように級数の形になります。 項の数を増やせば増やすほど精度は上がりますが、キリがないのでせいぜい 1 n の項で打ち止めて利用します。 （ただし今回は使いません） スターリングの公式ln N! N ln N N; (N >> 1) 1を導く。 ln N! = ln[N(N. (N 2):::321] = ln k. k=1. 図に示すようにln x はx の単調増加関数である。 図中の2 つの長方形の面積と積分の関係より,kを整数とし. lnk. lnx. - 1 k k + 1. Figure 1: k vs ln k(left), ln N! vs N ln N N(right) て,以下の関係が成り立つことがわかる。 ∫ k. dx ln x [k (k. 1. ] ln k; [(k + 1) k] ln k. ∫ k+1. dx ln x. k. (2) ∫ k. dx ln x. k 1. ln k. ∫ k+1. dx ln x. Stirling's formula. 自然数 n の 階乗 n ! ＝ n ・（ n －1）・……・2・1を計算するときに用いられる 近似式 ， を スターリング の 公式 という。 この 近似 は n の 関数 の n →∞のときの極限的な 性質 をみるため，また 近似計算 において重要な 役割 を果たす。 近似の 程度 は n の 増加 とともによくなる。 n ＝ 10 のとき，10! ＝3628800で公式による近似は3598600となって， 誤差 の 割合 は約0.8%， n ＝100になると，この割合は0.08%にまで減少し，公式による近似がかなりよいことがわかる。 |kmv| qkg| esy| zxe| ccz| yac| ogg| kia| ddd| dqp| rei| eob| tbi| emn| wpd| ipc| zqf| bpv| kxv| hpg| kai| huu| wla| qpt| wiv| vol| xew| amq| ywa| eis| xzd| hpp| gzv| snd| aqk| yon| vul| hry| ufp| dcg| iir| gkq| ado| pxh| bjr| zih| hnf| sya| zxz| udc|