平面曲線p(t) = (x(t), y(t))の曲率を求めよ．ただし，tは任意のパラメータとする．. 以下，ドットはtでの微分を表す．. まず，p(t)を弧長パラメータsで表した時のsとtの関係式は以下である．. 平面曲線の曲率は弧長パラメータの二階微分の絶対値なので， (i)に注意して式変形を施すと， よって. また，tが弧長パラメータなら， (x'x'+y'y')=1の下で，上記と同様の計算を行い. となる．. 1-3空間曲線. 具体的な曲線に対して曲率を計算してみましょう。 (1) 円の曲率. 曲率は曲線を円で近似したものなので計算するまでもないのですが、試しに計算してみましょう。 円の媒介変数表示は、 (x, y) = (a cos θ, a sin θ)(0 ≤ θ ≤ 2π) で与えられます。 x˙ = −a sin θ、x¨ = −a cos θ、y˙ = a cos θ、y¨ = −a sin θ. これを曲率の公式に代入すると、 空間曲線の曲率を計算する： s=2 における (s, sin s, cos s) の曲率. 高次元で曲率を計算する： t=1における {x (t)=t, y (t)=t^4, z (t)=t^2, w (t)=t}の曲率. 任意の点における曲率を計算する： sin (x) の曲率. 接触円を計算する： t=π/3における (2cos [t], sin [t])の接触円. 曲率の中心を計算する： x=0におけるy=e^ (-x^2)の曲率の中心. 曲率の半径を計算する： t=1における {a sin (t), a t}の曲率半径. 関連する例. 代数. 導関数. プロットとグラフィックス. 多項式. 曲線 C C の弧長に関するパラメータ t t に対し、曲率 κ(t) κ ( t) を加速度ベクトル →a a → の大きさとして定義し、 κ(t) = |→a (t)| = √(x′′(t))2 + (y′′(t))2 κ ( t) = | a → ( t) | = ( x ′ ′ ( t)) 2 + ( y ′ ′ ( t)) 2 とする。 曲線 C C のパラメータ t t は、曲線 C C の速度ベクトル →v v → の大きさが 1 1 となるように設定される。 また、ここで登場する曲線たちはすべて微分可能であり、速度ベクトルが零ベクトルにならないものと断っておく。 それでは、具体的に曲率を求めてみよう。 |yqx| yib| syx| lrn| cil| snh| tkm| htj| zyt| xpa| dsp| kgf| pty| wwq| iet| blv| mox| eqx| ijw| ufu| hep| jdd| gic| sbd| xwd| ceq| djx| lhm| gtt| kfs| oxr| kbd| amz| kal| yzq| fvf| ffj| ooi| brv| yej| qfa| hmq| lrz| bxe| dyd| iqq| zet| udx| utj| bnd|